/**
   * Convert the integer to an unsigned number.
   */
  private static String toUnsignedString(int i, int shift) {
    char[] buf = new char[32];
    int charPos = 32;
    int radix = 1 << shift;
    int mask = radix - 1;
    do {
      buf[--charPos] = digits[i & mask];
      i >>>= shift;
    } while (i != 0);

    return new String(buf, charPos, (32 - charPos));
  }

// 这个数组表示的是数字的十位部分，下面会用到这个数组。
final static char [] DigitTens = {
   '0', '0', '0', '0', '0', '0', '0', '0', '0', '0',
   '1', '1', '1', '1', '1', '1', '1', '1', '1', '1',
   '2', '2', '2', '2', '2', '2', '2', '2', '2', '2',
   '3', '3', '3', '3', '3', '3', '3', '3', '3', '3',
   '4', '4', '4', '4', '4', '4', '4', '4', '4', '4',
   '5', '5', '5', '5', '5', '5', '5', '5', '5', '5',
   '6', '6', '6', '6', '6', '6', '6', '6', '6', '6',
   '7', '7', '7', '7', '7', '7', '7', '7', '7', '7',
   '8', '8', '8', '8', '8', '8', '8', '8', '8', '8',
   '9', '9', '9', '9', '9', '9', '9', '9', '9', '9',
    } ;

// 这个数组表示的是数字的个位部分，下面会用到这个数组。把数组的每个部分进行组合的话可以得到100以内的所有的情况的二位整数。

  final static char [] DigitOnes = {
   '0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9',
   '0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9',
   '0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9',
   '0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9',
   '0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9',
   '0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9',
   '0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9',
   '0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9',
   '0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9',
   '0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9',
    } ;

  public static String toString(int i) {
    if (i == Integer.MIN_VALUE)
    // 这里的加1，开始不太清楚什么意思，后来发现负数的话              
    // 需要在前面加负号的所以串的大小要加1才行
    // 这里传入stringSize的部分是正的，在下面的数组中
    // 进行映射
    int size = (i < 0) ? stringSize(-i) + 1 : stringSize(i);
    char[] buf = new char[size];
    getChars(i, size, buf);
    return new String(0, size, buf);
  }

  static void getChars(int i, int index, char[] buf) {
    int q, r;
    int charPos = index;
    char sign = 0;

    if (i < 0) {
      sign = '-';
      i = -i;
    }

    // 超过65536的整数，先进行下面这样的一个处理，
    // 这个处理中以100为单位，也就是，余数控制在两位
    // 这样正好映射到上面的十位和个位数组，一次性写入
    // buf数组中两位，这样毫无疑问比求出每一位是要快很多的
    while (i >= 65536) {
      q = i / 100;
    // really: r = i - (q * 100);
      r = i - ((q << 6) + (q << 5) + (q << 2));
      i = q;
      buf [--charPos] = DigitOnes[r];
      buf [--charPos] = DigitTens[r];
    }

    // Fall thru to fast mode for smaller numbers
    // assert(i <= 65536, i);
    // 对于小于等于65536的整数而言，可以直接进行下面的部分
    // 而且这个地方是以除以10进行的，但是实现并不是直接除
    // 而是先求一个52429/2^19约等于0.1000...
    // 相当于i除以了10，但是我不清楚的是为什么这里不直接
    // 除以10，或许是因为精度不够吧，除法产生浮点数，
    // 或许会不精确，然后得到的除数再乘以10，得到10位以上
    // 部分的数，通过i-该部分十位以上的数，得到个位的数字
    for (;;) {
      q = (i * 52429) >>> (16+3);
      r = i - ((q << 3) + (q << 1)); // r = i-(q*10) ...
      buf [--charPos] = digits [r];
      i = q;
      if (i == 0) break;
    }
    if (sign != 0) {
      buf [--charPos] = sign;
    }
  }

  final static int [] sizeTable = { 9, 99, 999, 9999, 99999, 999999, 9999999,
                   99999999, 999999999, Integer.MAX_VALUE };

  // 这里应该是进行了优化，通过sizeTable存储了整型数据的位
  // 的情况，从一位一直到10位：2147483647的情况，
  // 这个处理方式很巧妙
  static int stringSize(int x) {
    for (int i=0; ; i++)
      if (x <= sizeTable[i])
        return i+1;
  }

public static int highestOneBit(int i) {
    // HD, Figure 3-1
    i |= (i >> 1);
    i |= (i >> 2);
    i |= (i >> 4);
    i |= (i >> 8);
    i |= (i >> 16);
    return i - (i >>> 1);
  }

public static int bitCount(int i) {
    // HD, Figure 5-2
    i = i - ((i >>> 1) & 0x55555555);
    i = (i & 0x33333333) + ((i >>> 2) & 0x33333333);
    i = (i + (i >>> 4)) & 0x0f0f0f0f;
    i = i + (i >>> 8);
    i = i + (i >>> 16);
    return i & 0x3f;
  }