笛卡尔（Descartes）乘积又叫直积。假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。 在数学中，两个集合 [i]X[/i] 和 [i]Y[/i] 的[b]笛卡儿积[/b]（Cartesian product），又称[b]直积[/b]，表示为 [i]X[/i] × [i]Y[/i]，是其第一个对象是 [i]X[/i] 的成员而第二个对象是 [i]Y[/i] 的一个成员的所有可能的有序对： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/201305261209176.png[/img] 。 笛卡儿积得名于笛卡儿，他的解析几何的公式化引发了这个概念。 具体的说，如果集合 [i]X[/i] 是 13 个元素的点数集合 { [i]A[/i], [i]K[/i], [i]Q[/i], [i]J[/i], 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } 而集合 [i]Y[/i] 是 4 个元素的花色集合 {♠, ♥, ♦, ♣}，则这两个集合的笛卡儿积是 52 个元素的标准扑克牌的集合 { ([i]A[/i], ♠), ([i]K[/i], ♠), ..., (2, ♠), ([i]A[/i], ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣) }。 [list] [*]1 笛卡儿积的性质 [/*][*]2 笛卡儿平方和 n-元乘积 [/*][*]3 无穷乘积 [/*][*]4 函数的笛卡儿积 [/*][*]5 外部链接 [/*][*]6 参见 笛卡儿积的性质 [/*][/list]易见笛卡儿积满足下列性质： [list] [*]对于任意集合 [i]A[/i]，根据定义有 [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/201305261209177.png[/img] [/*][*]一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。 [/*][*]笛卡儿积对集合的并和交满足分配律，即 [/*][/list] [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/201305261209178.png[/img] [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/201305261209179.png[/img] [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052612091710.png[/img] [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052612091711.png[/img] [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052612091712.png[/img] 笛卡儿平方和 n-元乘积 集合 [i]X[/i] 的[b]笛卡儿平方[/b](或[b]二元笛卡儿积[/b])是笛卡儿积 [i]X[/i] × [i]X[/i]。一个例子是二维平面 [b]R[/b] × [b]R[/b]，这里 [b]R[/b] 是实数的集合 - 所有的点 ([i]x[/i],[i]y[/i])，这里的 [i]x[/i] 和 [i]y[/i] 是实数(参见笛卡儿坐标系)。 可以推广出在 [i]n[/i] 个集合 [i]X[/i]1, ..., [i]Xn[/i] 上的 [b][i]n[/i]-元笛卡儿积[/b]: [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052612091713.png[/img] 。 实际上，它可以被认同为 ([i]X[/i]1 × ... × [i]Xn-1[/i]) × [i]Xn[/i]。它也是 [i]n[/i]-元组的集合。 一个例子是欧几里得三维空间 [b]R[/b] × [b]R[/b] × [b]R[/b]，这里的 [b]R[/b] 再次是实数的集合。 为了辅助它的计算，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素形成有序对作为表的单元格。 无穷乘积 对最常用的数学应用而言上述定义通常就是所需要的全部。但是有可能在任意(可能无限)的集合的搜集上定义笛卡儿积。如果 [i]I[/i] 是任何指标集合，而 [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052612091714.png[/img] 是由 [i]I[/i] 索引的集合的搜集，则我们定义 [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052612091715.png[/img] ， 就是定义在索引集合上的所有函数的集合，使得这些函数在特定索引 [i]i[/i] 上的值是 [i]Xi[/i]  的元素。 对在 [i]I[/i] 中每个 [i]j[/i]，定义自 [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052612091716.png[/img] 的函数 [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052612091717.png[/img] 叫做[b]第 [i]j[/i] 投影映射[/b]。 [i]n[/i]-元组可以被看作在 {1, 2, ..., [i]n[/i]} 上的函数，它在 [i]i[/i] 上的值是这个元组的第 [i]i[/i] 个元素。所以，在 [i]I[/i] 是 {1, 2, ..., [i]n[/i]} 的时候这个定义一致于对有限情况的定义。在无限情况下这个定义是集合族。 特别熟悉的一个无限情况是在索引集合是自然数的集合 [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052612091718.png[/img]  的时候: 这正是其中第 [i]i[/i] 项对应于集合 [i]Xi [/i] 的所有无限序列的集合。再次，[img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052612091719.png[/img]  提供了这样的一个例子: [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052612091720.png[/img] 是实数的无限序列的搜集，并且很容易可视化为带有有限数目构件的向量或元组。另一个特殊情况(上述例子也满足它)是在乘积涉及因子 [i]Xi[/i] 都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。则在定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从 [i]I[/i] 到 [i]X[/i] 的所有函数的集合。 此外，无限笛卡儿积更少直觉性，尽管有应用于高级数学的价值。 断言非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空等价于选择公理。 函数的笛卡儿积 如果 [i]f[/i] 是从 [i]A[/i] 到 [i]B[/i] 的函数而 [i]g[/i] 是从 [i]X[/i] 到 [i]Y[/i] 的函数，则它们的[b]笛卡儿积[/b] [i]f[/i]×[i]g[/i] 是从 [i]A[/i]×[i]X[/i] 到 [i]B[/i]×[i]Y[/i] 的函数，带有 [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052612091721.png[/img] 上述可以被扩展到函数的元组和无限指标。