以前在线性代数中学习了矩阵，对矩阵的基本运算有一些了解，前段时间在使用GDI+的时候再次学习如何使用矩阵来变化图像，看了之后在这里总结说明。 首先大家看看下面这个3 x 3的矩阵，这个矩阵被分割成4部分。为什么分割成4部分，在后面详细说明。 [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013543.jpg[/img] 首先给大家举个简单的例子：现设点P0（x0， y0）进行平移后，移到P（x，y），其中x方向的平移量为△x，y方向的平移量为△y，那么，点P（x，y）的坐标为： x = x0  + △x  y = y0  + △y 采用矩阵表达上述如下：  [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013544.jpg[/img] 上述也类似与图像的平移，通过上述矩阵我们发现，只需要修改矩阵右上角的2个元素就可以了。 我们回头看上述矩阵的划分：  [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013545.jpg[/img] 为了验证上面的功能划分，我们举个具体的例子：现设点P0（x0 ，y0）进行平移后，移到P（x，y），其中x放大a倍，y放大b倍， 矩阵就是：[img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013546.jpg[/img] ，按照类似前面“平移”的方法就验证。 图像的旋转稍微复杂：现设点P0（x0， y0）旋转θ角后的对应点为P（x， y）。通过使用向量，我们得到如下： x0 = r cosα  y0 = r sinα x = r cos(α+θ) = x0 cosθ - y0 sinθ  y = r sin(α+θ) = x0 sinθ + y0 cosθ 于是我们得到矩阵：[img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013547.jpg[/img] 如果图像围绕着某个点(a ，b)旋转呢？则先要将坐标平移到该点，再进行旋转，然后将旋转后的图像平移回到原来的坐标原点，在后面的篇幅中我们将详细介绍。 Matrix学习——如何使用Matrix 本篇幅我们就结合Android 中的android.graphics.Matrix来具体说明，还记得我们前面说的图像旋转的矩阵： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013548.jpg[/img] 从最简单的旋转90度的是： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013549.jpg[/img] 在android.graphics.Matrix中有对应旋转的函数：  Matrix matrix = new Matrix();  matrix.setRotate(90);  Test.Log(MAXTRIX_TAG,”setRotate(90):%s” , matrix.toString()); [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013550.jpg[/img] 查看运行后的矩阵的值（通过Log输出）： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013551.jpg[/img] 与上面的公式基本完全一样（android.graphics.Matrix采用的是浮点数，而我们采用的整数）。 有了上面的例子，相信大家就可以亲自尝试了。通过上面的例子我们也发现，我们也可以直接来初始化矩阵，比如说要旋转30度： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013552.jpg[/img] 前面给大家介绍了这么多，下面我们开始介绍图像的镜像，分为2种：水平镜像、垂直镜像。先介绍如何实现垂直镜像，什么是垂直镜像就不详细说明。图像的垂直镜像变化也可以用矩阵变化的表示，设点P0（x0 ，y0 ）进行镜像后的对应点为P（x ，y ），图像的高度为fHeight，宽度为fWidth，原图像中的P0（x0 ，y0 ）经过垂直镜像后的坐标变为（x0 ，fHeight- y0）；  x = x0  y = fHeight – y0  推导出相应的矩阵是： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013553.jpg[/img] final float f[] = {1.0F,0.0F,0.0F,0.0F,-1.0F,120.0F,0.0F,0.0F,1.0F};  Matrix matrix = new Matrix();  matrix.setValues(f); 按照上述方法运行后的结果：  [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013554.jpg[/img] 至于水平镜像采用类似的方法，大家可以自己去试试吧。 实际上，使用下面的方式也可以实现垂直镜像：  Matrix matrix = new Matrix();  matrix.setScale (1.0，-1.0);  matrix.postTraslate(0, fHeight); 这就是我们将在后面的篇幅中详细说明。 Matrix学习——图像的复合变化 Matrix学习——基础知识篇幅中，我们留下一个话题：如果图像围绕着某个点P(a，b)旋转，则先要将坐标系平移到该点，再进行旋转，然后将旋转后的图像平移回到原来的坐标原点。 我们需要3步： 1. 平移——将坐标系平移到点P(a，b)； 2. 旋转——以原点为中心旋转图像； 3. 平移——将旋转后的图像平移回到原来的坐标原点； 相比较前面说的图像的几何变化（基本的图像几何变化），这里需要平移——旋转——平移，这种需要多种图像的几何变化就叫做图像的复合变化。 设对给定的图像依次进行了基本变化F1、F2、F3…..、Fn，它们的变化矩阵分别为T1、T2、T3…..、Tn，图像复合变化的矩阵T可以表示为：T = TnTn-1…T1。 按照上面的原则，围绕着某个点(a，b)旋转θ的变化矩阵序列是： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013555.jpg[/img] 按照上面的公式，我们列举一个简单的例子：围绕（100，100）旋转30度(sin 30 = 0.5 ，cos 30 = 0.866)  float f[]= { 0.866F,  -0.5F, 63.4F,0.5F, 0.866F,-36.6F,0.0F,    0.0F,  1.0F };  matrix = new Matrix();  matrix.setValues(f);  旋转后的图像如下： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013556.jpg[/img] Android为我们提供了更加简单的方法，如下：  Matrix matrix = new Matrix();  matrix.setRotate(30，100，100);  矩阵运行后的实际结果：  [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013557.jpg[/img] 与我们前面通过公式获取得到的矩阵完全一样。 在这里我们提供另外一种方法，也可以达到同样的效果：  float a = 100.0F,b = 100.0F;  matrix = new Matrix();  matrix.setTranslate(a,b);  matrix.preRotate(30);  matrix.preTranslate(-a,-b);  将在后面的篇幅中为大家详细解析 通过类似的方法，我们还可以得到：相对点P(a，b)的比例[sx,sy]变化矩阵 [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013558.jpg[/img] Matrix学习——Preconcats or Postconcats? 从最基本的高等数学开始，Matrix的基本操作包括：+、*。Matrix的乘法不满足交换律，也就是说A*B ≠B*A。还有2种常见的矩阵： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013559.jpg[/img] 有了上面的基础，下面我们开始进入主题。由于矩阵不满足交换律，所以用矩阵B乘以矩阵A，需要考虑是左乘（B*A），还是右乘（A*B）。在Android的android.graphics.Matrix中为我们提供了类似的方法，也就是我们本篇幅要说明的Preconcats matrix 与 Postconcats  matrix。下面我们还是通过具体的例子还说明： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013560.jpg[/img] 通过输出的信息，我们分析其运行过程如下： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013561.jpg[/img] 看了上面的输出信息。我们得出结论：Preconcats matrix相当于右乘矩阵，Postconcats  matrix相当于左乘矩阵。 [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013562.jpg[/img] Matrix学习——错切变换 什么是图像的错切变换（Shear transformation）？我们还是直接看图片错切变换后是的效果： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013563.jpg[/img] [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013564.jpg[/img] 对图像的错切变换做个总结： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013565.jpg[/img] x = x0 + b*y0; y = d*x0 + y0; [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013566.jpg[/img] 这里再次给大家介绍一个需要注意的地方： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013567.jpg[/img] 通过以上，我们发现Matrix的setXXXX()函数，在调用时调用了一次reset()，这个在复合变换时需要注意。 Matrix学习——对称变换（反射） 什么是对称变换？具体的理论就不详细说明了，图像的镜像就是对称变换中的一种。 [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013568.jpg[/img] 利用上面的总结做个具体的例子，产生与直线y= – x对称的反射图形，代码片段如下： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013569.jpg[/img] 当前矩阵输出是： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013570.jpg[/img] 图像变换的效果如下： [img]http://files.jb51.net/file_images/article/201305/2013052017013571.jpg[/img] [b]附：三角函数公式 [/b]两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa  cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb) cot(a+b)=(cotacotb-1)/(cotb+cota)  cot(a-b)=(cotacotb+1)/(cotb-cota) [b]倍角公式 [/b]tan2a=2tana/[1-(tana)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2a=2sina*cosa [b]半角公式 [/b]sin(a/2)=√((1-cosa)/2) sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2) cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa)) tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) cot(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa)) cot(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))  tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa) [b]和差化积 [/b]2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b) 2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) ) 2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b) -2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2 cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb [b]积化和差公式 [/b]sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] [b]诱导公式 [/b]sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(pi/2-a)=cos(a) cos(pi/2-a)=sin(a) sin(pi/2+a)=cos(a) cos(pi/2+a)=-sin(a) sin(pi-a)=sin(a) cos(pi-a)=-cos(a) sin(pi+a)=-sin(a) cos(pi+a)=-cos(a) tga=tana=sina/cosa [b]万能公式 [/b]sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) [b]其它公式 [/b]a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a] a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b] 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2 其他非重点三角函数 csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a) [b]双曲函数 [/b]sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2 cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)